4.6 Beträge im Funktionsterm

Funktionen mit Beträgen im Term sind nichts anderes als abschnittsweise definierte Funktionen. Betrachten wir zum Beispiel:

f(x) = |x3| – x

Da |x³| immer positiv sein muss, müssen wir tatsächlich zwei verschiedene Funktionen betrachten:

f(x) =     x3 – x     für x >= 0     –x3 – x     für x < 0

Diese Funktion können wir jetzt untersuchen wie in den vergangenen Kapiteln beschrieben.

Kompliziertere Beträge

Man muss darauf achten, dass wegen manchen Beträgen die Funktion auch in mehr als zwei Teilfunktionen aufgeteilt werden muss:

g(x) = |x2–1|     g(x) =     x2 – 1     für x ]–;1]     –x2 + 1     für x ]–1;1[     x2 – 1     für x [1;+][         Alternativ könnte man auch schreiben:     g(x) =     x2 – 1     für x \ ]–1;1[     –x2 + 1     für x ]–1;1[

Ist man sich nicht sicher, wann ein komplizierterer Betragsinhalt größer oder kleiner Null ist, so sieht man sich einfach den Vorzeichenverlauf des Graphens der Betragsfunktion an.

Mehrfache Beträge

Hat man mehr als einen Absolutbetrag im Funktionsterm, hat man auch mehrere "Umschlagpunkte" und muss die Funktion in noch mehr Teilfunktionen aufteilen. Dabei prüft man an jedem "Umschlagpunkt" die einzelnen Beträge getrennt voneinander darauf, ob der Betragsinhalt im jeweiligen Interval positiv oder negativ ist. Beispiel:

f(x) =      |x³|+5     |x+1|          = \ {–1}     Die Funktion f(x) wird in 3 Teilfunktionen aufgeteilt:     f(x) =          –x³+5     –x–1          für x ]–;–1[          –x³+5     x+1          für x ]–1;0[          x³+5     x+1          für x [0;[

Weiterführende Literatur

Wer sich wirklich eingehender mit dem Thema Betragsfunktionen beschäftigen möchte, dem sei das knapp 80 Seiten starke Lehrbuch Absolutbetrag im Funktionsterm von Walther / BSV (ISBN 3-7627-3330-9) ans Herz gelegt.

Eine Aufgabe zu diesem Kapitel wartet auf ihre Lösung!

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