3.5 Ableitung gebrochenrationaler Funktionen

Wir wissen bereits aus Kapitel 2.3.3, wie man Polynome, also ganzrationale Funktionen ableitet. Die Ableitung gebrochenrationaler Funktionen läuft nicht viel anders, man muss jedoch noch einen zusätzlichen Satz, die sog. Quotientenregel kennen:

f(x) =      g(x)     h(x)      f'(x) =      h(x)·g'(x) – g(x)·h'(x)     [h(x)]2

Beim Ableiten einer gebrochenrationalen Funktion muss man also die Zählerfunktion g(x) sowie die Nennerfunktion h(x) getrennt voneinander ableiten, und am Ende das Ergebnis in die obige Formel einsetzen.

Rechenbeispiel

f(x) =      8x2     2x3 + 6x          g(x) = 8x2 g'(x) = 16x     h(x) = 2x3 + 6x h'(x) = 6x2 + 6     f'(x) =      h(x)·g'(x) – g(x)·h'(x)     [h(x)]2          =      (2x3 + 6x)·(16x) – (8x2)·(6x2 + 6)     (2x3 + 6x)2          =      32x4 + 96x2 – 48x4 – 48x2     4x6 + 36x2 + 24x4          =      –16x4 + 48x2     4x6 + 24x4 + 36x2        =           –4x4 + 12x2     x6 + 6x4 + 9x2

Einige Aufgaben zu diesem Kapitel warten auf ihre Lösung!

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