3.7 Verhalten im Unendlichen

Wie wir aus Kapitel 2.3.9 wissen, streben ganzrationale Funktionen für große x immer gegen + oder -. Gebrochenrationale Funktionen hingegen können auch ganz anderes Verhalten im Unendlichen zeigen, wie man an diesen Beispielen sieht:

Tatsächlich kann eine gebrochenrationale Funktion, abhängig von den Graden des Zähler- und Nennerpolynoms, ganz verschiedene Verhalten im Unendlichen zeigen.

Asymptoten und Grenzkurven

Bei einer gebrochenrationalen Funktion

  f(x) =   
 g(x) 


 h(x) 
    

sei z der Grad des Zählerpolynoms g(x) und n der Grad des Nennerpolyoms h(x).

  1. z < n

    Da das Nennerpolynom für große X-Werte schneller wächst als das Zählerpolynoms, nähert sich die Funktion für x ± an die X-Achse an. Man sagt auch die X-Achse ist waagrechte Asymptote der Funktion (Senkrechte Asymptoten haben wir bereits kennengelernt). Ein Beispiel:

    In der Rechnung schreibt man das so:

      f(x) =   
     x2 + 4 


     x3 – x2 – 3 
        =   
     0 
       

    Das Zeichen "" spricht man "Limes von x gegen Unendlich".

  2. z = n

    Zähler und Nenner wachsen für große X-Werte etwa gleich schnell, womit der Bruch sich einem konstantem Wert nähert. Die Funktion hat also eine waagrechte Asymptote, eine Parallele zur X-Achse. Durch Polynomdivision können wir berechnen, an welchem Y-Wert entlang die Asymptote verläuft:

      f(x) =   
     x2 – 1 


     4x2 – x 
        =  
      =   
     1 


     4 
        
     1 + 0,25x 


     4x2 – x 
        =  
      (Der zweite Bruch ist eine Funktion mit z < n und wird damit zu 0!)  
      =   
     1 


     4 
       =  
     0,25 
       

    Die Asymptote ist also eine Parallele zur X-Achse bei y = 0,25:

    Noch einfacher läßt sich dieser Wert (0,25) berechnen, indem man einfach den Koeffizienten des höchsten Glieds im Zähler durch den Koeffizienten des höchsten Glieds im Nenner teilt:

      f(x) =   
     1x2 – 1 


     4x2 – x 
        =    
     1 


     4 
       =  
     0,25 
       

  3. z = n + 1

    Da der Zähler für große Werte "um ein x" schneller wächst als der Zähler, nähert sich der Bruch einer Geraden der Form a(x) = mx + t an. Die Asymptote der Funktion ist also eine Gerade. Durch Polynomdivision können wir die Geradengleichung der Asymptote bestimmen:

      f(x) =   
     x3 + x2 


     –2x2 + 10 
        =  –  
     1 


     2 
      x –   
     1 


     2 
       +   
     5x + 5 


     –2x2 + 10 
      ;  
      Wir erkennen das letzte Glied des Termes, das für unendlich große x zu Null wird:  
       
     1 


     2 
      x –   
     1 


     2 
       +   
     5x + 5 


     –2x2 + 10 
       =   
     1 


     2 
      x –   
     1 


     2 
       =  
     –0,5x – 0,5 
       

    Die Geradengleichung der Asymptoten ist also a(x) = -0,5x - 0,5.

  4. z > n + 1

    Analog nähert sich eine solche Funktion für große X-Werte einem Polynom vom Grade z-n an: Durch Polynomdivision können wir die Funktionsgleichung dieses "Grenzpolynoms" bestimmen:

      f(x) =   
     x3 + 2x2 – 2 


     x + 1 
        =  x2 + x – 1 –   
     1 


     x + 1 
      ;  
      Wir erkennen das Glied des Termes, das für unendlich große x zu Null wird:  
      x2 + x – 1 –   
     1 


     x + 1 
        =   
     x2 + x – 1 
       

    Die Gleichung des Polynoms lautet also p(x) = x2 + x - 1:

Anmerkung zu den Grenzkurven

Natürlich ist es für sehr große X-Werte nicht mehr sonderlich relevant, ob die Gleichung der Grenzkurve nun p(x) = x2 + x - 1 oder p(x) = x2 - x - 1 lautet. Wirklich ausschlaggebend für das Vorzeichen des Funktionswertes im Unendlichen ist hier, wie in Kapitel 2.3.9 besprochen, nur noch das höchstgradige Glied des Grenzkurventerms, in diesem Falle x2.



Nächstes Kapitel:
3.8 Beschränktheit und globale Extremwerte


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